Strømning og sirkulasjon av et vektorfelt

NBasert på Richard Feynmans forelesningsmateriell

Når vi skal beskrive elektrisitetslovene i form av vektorfelt, står vi overfor to matematisk viktige trekk ved vektorfeltet: fluks og sirkulasjon. Det ville være fint å forstå hva disse matematiske begrepene er og hva deres praktiske betydning er.

Den andre delen av spørsmålet er lett å svare på med en gang fordi begrepene flyt og sirkulasjon er kjernen i Maxwells ligninger, som all moderne elektrodynamikk faktisk hviler på.

Så for eksempel kan loven om elektromagnetisk induksjon formuleres som følger: sirkulasjonen av det elektriske feltet E langs en lukket sløyfe C er lik endringshastigheten til fluksen til magnetfeltet B gjennom overflaten S avgrenset av dette løkke B.

I det følgende vil vi ganske enkelt beskrive, ved hjelp av klare flytende eksempler, hvordan feltkarakteristikkene bestemmes matematisk, hvorfra disse feltkarakteristikkene er hentet og oppnådd.

Vektorfeltfluks

Til å begynne med, la oss tegne en viss lukket overflate av helt vilkårlig form rundt området som studeres. Etter å ha avbildet denne overflaten, spør vi om studieobjektet, som vi kaller et felt, flyter gjennom denne lukkede overflaten. For å forstå hva dette handler om, bør du vurdere et enkelt flytende eksempel.

La oss si at vi undersøker hastighetsfeltet til en viss væske. For et slikt eksempel er det fornuftig å spørre: passerer mer væske gjennom denne overflaten per tidsenhet enn det som strømmer inn i volumet avgrenset av denne overflaten? Med andre ord, er utstrømningshastigheten alltid rettet primært innenfra og ut?

Med uttrykket "vektorfeltfluks" (og for vårt eksempel vil uttrykket "fluidhastighetsfluks" være mer nøyaktig), vil vi bli enige om å navngi den totale mengden imaginær væske som strømmer gjennom overflaten til det betraktede volumet avgrenset av gitt en lukket overflate (for væskestrømningshastigheten, hvor mye væske som følger av volumet per tidsenhet).

Som et resultat vil fluksen gjennom overflateelementet være lik produktet av arealet til overflateelementet med den vinkelrette komponenten av hastigheten. Da vil den totale (totale) fluksen over hele overflaten være lik produktet av den gjennomsnittlige normalkomponenten av hastigheten, som vi vil telle fra innsiden og ut, ved det totale overflatearealet.

Nå tilbake til det elektriske feltet. Det elektriske feltet kan selvfølgelig ikke betraktes som hastigheten til strømmen til en eller annen væske, men vi har rett til å introdusere et matematisk konsept for strømmen, lik det vi beskrev ovenfor som strømmen av væskens hastighet.

Bare når det gjelder et elektrisk felt, kan dets fluks bestemmes av den gjennomsnittlige normalkomponenten av den elektriske feltstyrken E. I tillegg kan fluksen til det elektriske feltet bestemmes ikke nødvendigvis gjennom en lukket overflate, men gjennom en hvilken som helst avgrenset overflate av ikke-null område S .

Sirkulasjon av et vektorfelt

Det er velkjent for alle at for større klarhet kan felt avbildes i form av såkalte kraftlinjer, ved hvert punkt hvor tangentens retning faller sammen med retningen til feltstyrken.

La oss gå tilbake til væskeanalogien og forestille oss væskens hastighetsfelt La oss stille oss selv et spørsmål: sirkulerer væsken? Det vil si, beveger den seg først og fremst i retning av en eller annen tenkt lukket sløyfe?

For større klarhet, se for deg at væsken i en stor beholder på en eller annen måte beveger seg (fig. A), og vi frøs plutselig nesten hele volumet, men klarte å la volumet være ufrosset i form av et jevnt lukket rør der det ikke er noe friksjon av væsken på veggene (fig. b).

Utenfor dette røret har væsken blitt til is og kan derfor ikke lenger bevege seg, men inne i røret er væsken i stand til å fortsette sin bevegelse, forutsatt at det er et fremherskende momentum som driver den, for eksempel i retning med klokken (fig. .°C). Da vil produktet av væskehastigheten i røret og lengden på røret kalles væskehastighetssirkulasjonen.

Tilsvarende kan vi definere en sirkulasjon for et vektorfelt, selv om feltet igjen ikke kan sies å være hastigheten til noe, kan vi likevel definere den matematiske egenskapen til "sirkulasjon" langs en kontur.

Så sirkulasjonen av et vektorfelt langs en tenkt lukket sløyfe kan defineres som produktet av den gjennomsnittlige tangentielle komponenten av vektoren i retning av sløyfens passasje - ved lengden på sløyfen.