Maxwells ligninger for et elektromagnetisk felt - de grunnleggende lovene for elektrodynamikk
Systemet med Maxwells ligninger skylder navnet og utseendet sitt til James Clerk Maxwell, som formulerte og skrev disse ligningene på slutten av 1800-tallet.
Maxwell James Clark (1831–1879) er en kjent britisk fysiker og matematiker, professor ved University of Cambridge i England.
Han kombinerte praktisk talt i ligningene sine alle de eksperimentelle resultatene oppnådd på den tiden på elektrisitet og magnetisme, og ga elektromagnetismens lover en klar matematisk form. De grunnleggende lovene for elektrodynamikk (Maxwells ligninger) ble formulert i 1873.
Maxwell utviklet Faradays lære om det elektromagnetiske feltet til en sammenhengende matematisk teori, som følger muligheten for bølgeutbredelse av elektromagnetiske prosesser. Det viste seg at forplantningshastigheten til elektromagnetiske prosesser er lik lysets hastighet (verdien som allerede var kjent fra eksperimenter).
Denne tilfeldigheten fungerte som grunnlaget for Maxwell å uttrykke ideen om den vanlige naturen til elektromagnetiske og lysfenomener, dvs. om lysets elektromagnetiske natur.
Teorien om elektromagnetiske fenomener, skapt av James Maxwell, fant sin første bekreftelse i eksperimentene til Hertz, som først oppnådde elektromagnetiske bølger.
Som et resultat spilte disse ligningene en viktig rolle i dannelsen av nøyaktige representasjoner av klassisk elektrodynamikk. Maxwells ligninger kan skrives i differensial- eller integralform. I praksis beskriver de i matematikkens tørre språk det elektromagnetiske feltet og dets forhold til elektriske ladninger og strømmer i vakuum og i kontinuerlige medier. Til disse ligningene kan du legge til uttrykk for Lorentz-styrken, i så fall får vi et komplett system av ligninger av klassisk elektrodynamikk.
For å forstå noen av de matematiske symbolene som brukes i differensialformene til Maxwells ligninger, la oss først definere en så interessant ting som nabla-operatoren.
Nabla-operatør (eller Hamilton-operatør) Er en vektordifferensialoperator hvis komponenter er partielle deriverte med hensyn til koordinatene. For vårt virkelige rom, som er tredimensjonalt, er et rektangulært koordinatsystem egnet, for hvilket operatøren nabla er definert som følger:
hvor i, j og k er enhetskoordinatvektorer
Nabla-operatoren, når den brukes på et felt på en matematisk måte, gir tre mulige kombinasjoner. Disse kombinasjonene kalles:
Gradient — en vektor, med retningen som indikerer retningen til den største økningen av en viss mengde, hvis verdi varierer fra ett punkt i rommet til et annet (skalarfelt), og i størrelse (modul) er lik veksthastigheten til denne mengde i denne retningen.
Divergens (divergens) — en differensialoperator som kartlegger et vektorfelt til en skalar (det vil si som et resultat av å bruke differensieringsoperasjonen på et vektorfelt, oppnås et skalarfelt), som bestemmer (for hvert punkt) "hvor mye feltet går inn og etterlater et lite nabolag av et gitt punkt divergerer ”, mer presist hvor forskjellige inn- og utstrømningene er.
Rotor (virvel, rotasjon) er en vektordifferensialoperator over et vektorfelt.
Tenk nå rett Maxwells ligninger i integral (venstre) og differensial (høyre) formsom inneholder de grunnleggende lovene for elektriske og magnetiske felt, inkludert elektromagnetisk induksjon.
Integrert form: sirkulasjonen av den elektriske feltstyrkevektoren langs en vilkårlig lukket sløyfe er direkte proporsjonal med endringshastigheten til den magnetiske fluksen gjennom området avgrenset av denne sløyfen.
Differensialform: hver endring i magnetfeltet produserer et elektrisk virvelfelt proporsjonalt med endringshastigheten til magnetfeltinduksjonen.
Fysisk betydning: enhver endring i magnetfeltet over tid forårsaker utseendet til et elektrisk virvelfelt.
Integrert form: magnetfeltinduksjonsfluksen gjennom en vilkårlig lukket overflate er null. Dette betyr at det ikke finnes magnetiske ladninger i naturen.
Differensiell form: fluksen av feltlinjer for induksjon av et magnetisk felt med uendelig elementært volum er lik null, siden feltet er virvle.
Fysisk betydning: i naturen er det ingen kilder til magnetfelt i form av magnetiske ladninger.
Integrert form: sirkulasjonen av magnetfeltstyrkevektoren langs en vilkårlig lukket sløyfe er direkte proporsjonal med den totale strømmen som krysser overflaten som dekkes av denne sløyfen.
Differensiell form: Et virvelmagnetisk felt eksisterer rundt enhver strømførende leder og rundt ethvert vekslende elektrisk felt.
Fysisk betydning: flyten av ledende strøm gjennom ledninger og endringene i det elektriske feltet med tiden fører til utseendet til et virvelmagnetisk felt.
Integrert form: fluksen av den elektrostatiske induksjonsvektoren gjennom en vilkårlig lukket overflate som omslutter ladningene er direkte proporsjonal med den totale ladningen som befinner seg inne i den overflaten.
Differensialform: fluksen til induksjonsvektoren til det elektrostatiske feltet fra et uendelig elementært volum er direkte proporsjonal med den totale ladningen i det volumet.
Fysisk betydning: kilden til det elektriske feltet er en elektrisk ladning.
Systemet med disse ligningene kan suppleres med et system av såkalte materialligninger som karakteriserer egenskapene til materialmediet som fyller rommet:
