Grunnleggende og lover i logikkens algebra

Irsk matematiker fra midten av 1800-tallet George Bull utviklet logikkens algebra ("Studie av tenkningens lover"). Derfor kalles også logikkens algebra boolsk algebra.

Ved å gi bokstavbetegnelser, uttrykke operasjonene til logiske transformasjoner i handlingssymboler og bruke reglene og aksiomene som er etablert for disse handlingene, lar logikkens algebra resonneringsprosessen for å løse et problem gitt i form av utsagnslogikk beskrives fullstendig i algoritmer , det vil si å ha et matematisk skrevet program som løser dette problemet.

For å betegne sannheten eller usannheten til utsagn (det vil si å introdusere verdier for å evaluere utsagn), bruker logikkens algebra et binært system, praktisk i dette tilfellet. Hvis påstanden er sann, tar den verdien 1, hvis den er usann, tar den verdien 0. I motsetning til binære tall, uttrykker ikke logiske 1-ere og 0-er en mengde, men en tilstand.

Så, i elektriske kretser beskrevet ved bruk av boolsk algebra, hvor 1 er tilstedeværelsen av spenning og 0 er fraværet, er tilførselen av spenninger fra flere kilder til en node av kretsen (det vil si ankomsten av flere logiske enheter av den) viser også som en logisk enhet som ikke indikerer den totale spenningen ved noden, men bare dens tilstedeværelse.

Når man beskriver inngangs- og utgangssignalene til de logiske kretsene, brukes variabler som tar verdiene på kun logisk 0 eller 1. Avhengigheten av utgangssignalene på inngangen bestemmes logisk operasjon (funksjon)… La oss angi inngangsvariablene med X1 og X2, og utgangen oppnådd ved en logisk operasjon på dem med y.

Tenk over det tre grunnleggende elementære logiske operasjoner, ved hjelp av hvilke stadig mer komplekse kan beskrives.

1. ELLER-operasjon — logisk tillegg:

Gitt alle mulige verdier av variablene, kan man definere ELLER-operasjonen som tilstrekkeligheten av minst én enhet i inngangen for å produsere en i utgangen. Navnet på operasjonen er forklart av den semantiske betydningen av foreningen OR i uttrykket: «Hvis OR er én inngang ELLER den andre er én, så er utgangen én.»

2. Operasjon OG — logisk multiplikasjon:

Fra å vurdere hele settet med verdier av variablene, er AND-operasjonen definert som behovet for å matche alle de på inngangene for å få en på utgangen: "Hvis AND er en inngang og den andre er ener, så utgangen er én. «

3. Operasjon NOT — logisk negasjon eller inversjon. Det er indikert med en stolpe over variabelen.

Når den reverseres, reverseres verdien av variabelen.

Grunnleggende lover for logisk algebra:

1. Nullsettets lov: produktet av et hvilket som helst antall variabler forsvinner hvis noen av variablene er null, uavhengig av verdiene til andre variabler:

2. Loven om det universelle sett – summen av et hvilket som helst antall variabler blir én hvis minst én av variablene har verdien én, uavhengig av andre variabler:

3. Loven om gjentakelse — gjentatte variabler i uttrykket kan utelates (med andre ord, det er ingen eksponentiering og multiplikasjon med en numerisk koeffisient i boolsk algebra):

4. Loven om dobbel inversjon – inversjonen utført to ganger er en tom operasjon:

5. Lov om komplementaritet – produktet av hver variabel og dens inverse er null:

6. Summen av hver variabel og dens gjensidige er én:

7. Beskyttelseslover – Resultatet av å utføre multiplikasjons- og addisjonsoperasjoner avhenger ikke av rekkefølgen variablene følger:

8. Kombinerte lover – under multiplikasjons- og addisjonsoperasjoner kan variabler grupperes i hvilken som helst rekkefølge:

9. Fordelingslover – det er tillatt å sette den totale koeffisienten utenfor parentes:

10. Lover for absorpsjon — angi måter å forenkle uttrykk som involverer en variabel i alle faktorer og termer:

11. De Morgans lover – inversjonen av produktet er summen av inversjonene av variablene:

inversjonen av summen er produktet av inversjonene av variablene: