Lover for kontaktkrets algebra, boolsk algebra

En analytisk registrering av strukturen og driftsforholdene til relékretser gjør det mulig å utføre analytiske ekvivalente transformasjoner av kretser, det vil si ved å transformere strukturformler, finne skjemaer som ligner på deres drift. Konverteringsmetoder er spesielt fullt utviklet for strukturformler som uttrykker kontaktkretser.

For kontaktkretser brukes det matematiske apparatet til logikkens algebra, mer presist, en av dens enkleste varianter, kalt proposisjonskalkyle eller boolsk algebra (etter matematikeren i forrige århundre J. Boole).

Proposisjonskalkylen ble opprinnelig utviklet for å studere avhengigheten (sannheten eller usannheten til komplekse vurderinger av sannheten eller usannheten til de enkle påstandene som utgjør dem. I hovedsak er proposisjonskalkylen en algebra av to tall, det vil si en algebra i som hvert enkelt argument og hver funksjon kan ha en av to verdier.

Dette bestemmer muligheten for å bruke boolsk algebra til å transformere kontaktkretser, siden hvert av argumentene (kontaktene) som er inkludert i strukturformelen kan ta bare to verdier, det vil si at den kan være lukket eller åpen, og hele funksjonen representert av strukturen formelen kan uttrykke enten en lukket eller en åpen sløyfe.

Boolsk algebra introduserer:

1) objekter som, som i vanlig algebra, har navn: uavhengige variabler og funksjoner - men i motsetning til vanlig algebra kan begge i boolsk algebra bare ha to verdier: 0 og 1;

2) grunnleggende logiske operasjoner:

• logisk addisjon (eller disjunksjon, logisk ELLER, betegnet med tegnet ?), som er definert som følger: resultatet av operasjonen er 0 hvis og bare hvis alle argumentene for operasjonen er lik 0, ellers er resultatet 1;

• logisk multiplikasjon (eller sammenkobling, logisk OG, betegnet med ?, eller ikke spesifisert i det hele tatt) som er definert som følger: resultatet av operasjonen er 1 hvis og bare hvis alle argumentene til operasjonen er lik 1, ellers resultatet er 0;

• negasjon (eller omvendt, logisk IKKE, angitt med en stolpe over argumentet), som er definert som følger: resultatet av operasjonen har motsatt verdi av argumentet;

3) aksiomer (lovene til boolsk algebra), som definerer reglene for å transformere logiske uttrykk.

Merk at hver av de logiske operasjonene kan utføres både på variabler og på funksjoner, som vil bli kalt boolske funksjoner nedenfor... Husk at, analogt med vanlig algebra, i boolsk algebra, har operasjonen av logisk multiplikasjon forrang over den logiske tilleggsoperasjon.

Boolske uttrykk dannes ved å kombinere logiske operasjoner på en rekke objekter (variabler eller funksjoner), kalt argumenter for operasjonen.

Transformasjonen av logiske uttrykk ved å bruke lovene til boolsk algebra utføres vanligvis med sikte på å minimere, fordi jo enklere uttrykket er, jo mindre kompleksiteten til den logiske kjeden, som er den tekniske implementeringen av det logiske uttrykket.

Lovene til boolsk algebra presenteres som et sett med aksiomer og konsekvenser. Disse kan kontrolleres ganske enkelt ved å erstatte forskjellige verdier av variablene.

Den tekniske analogen til ethvert logisk uttrykk for en boolsk funksjon er et logisk diagram... I dette tilfellet er variablene som en boolsk funksjon er avhengig av koblet til de eksterne inngangene til denne kretsen, verdien av en boolsk funksjon dannes ved ekstern utgang fra kretsen, og hver logisk operasjon i et logisk uttrykk implementeres av et logisk element.

For hvert sett med inngangssignaler ved utgangen av den logiske kretsen, genereres et signal som tilsvarer verdien av en boolsk funksjon av dette settet med variabler (videre vil vi bruke følgende konvensjon: 0 — lavt signalnivå , 1 — høyt signalnivå).

Når vi konstruerer logiske kretser, vil vi anta at variablene mates til inngangen i en parafasekode (det vil si at både direkte og inverse verdier av variablene er tilgjengelige).

Tabell 1 viser de konvensjonelle grafiske betegnelsene til noen logiske elementer i samsvar med GOST 2.743-91, så vel som deres utenlandske kolleger.

I tillegg til elementene som utfører de tre operasjonene til boolsk algebra (AND, OR, NOT), i tab. 1 viser elementene som utfører operasjoner avledet fra hoveddelen:

— OG -IKKE — negasjon av logisk multiplikasjon, også kalt Schaefer-trekk (betegnet med |)

— ELLER -IKKE — negasjon av logisk komplement, også kalt Peirces pil (betegnet med?)

Ved å seriekoble logiske porter sammen, kan du implementere hvilken som helst boolsk funksjon.

Strukturformler som uttrykker relékretser generelt, dvs. inneholder symboler for reagerende ørner, kan ikke betraktes som funksjoner av to verdier som kun uttrykker lukket eller åpen krets. Når man jobber med slike funksjoner, oppstår det derfor en rekke nye avhengigheter som går utover grensene for boolsk algebra.

I boolsk algebra er det fire par grunnleggende lover: to forskyvninger, to kombinatoriske, to distributive og to juridiske inversjoner. Disse lovene etablerer ekvivalensen til forskjellige uttrykk, det vil si at de vurderer uttrykk som kan erstattes med hverandre som substitusjon av identiteter i vanlig algebra. Som ekvivalenssymbol tar vi symbolet som er det samme som likhetssymbolet i vanlig algebra (=).

Gyldigheten av lovene til boolsk algebra for kontaktkretser vil bli etablert ved å vurdere kretser som tilsvarer venstre og høyre side av ekvivalente uttrykk.

Reiselover

For å legge til: x + y = y + x

Skjemaene som tilsvarer disse uttrykkene er vist i fig. 1, a.

Venstre og høyre kretser er normalt åpne kretser, som hver lukkes når ett av elementene (X eller Y) utløses, det vil si at disse kretsene er likeverdige. For multiplikasjon: x ·y = y ·NS.

Skjemaene som tilsvarer disse uttrykkene er vist i fig. 1b er ekvivalensen deres også åpenbar.

Ris. 1

Lover om kombinasjon

For addisjon: (x + y) + z = x + (y + z)

For multiplikasjon: (x ·y) ·z = x ·(y ·z)

Parene av ekvivalente kretser som tilsvarer disse uttrykkene er vist i fig. 2, a, b

Ris. 2

Distribusjonslover

Multiplikasjon versus addisjon: (x + y) +z = x + (y + z)

Addisjon vs multiplikasjon. x ·y + z = (x + z) ·(y + z)

Skjemaene som tilsvarer disse uttrykkene er vist i fig. 3, a, b.

Ris. 3.

Ekvivalensen av disse ordningene kan enkelt verifiseres ved å vurdere ulike kombinasjoner av kontaktaktivering.

Inversjonslover

Ved addisjon: NS + c = NS·c

Linjen over venstre side av uttrykket er et negasjons- eller inversjonstegn. Dette tegnet indikerer at hele funksjonen har motsatt betydning i forhold til uttrykket under negasjonstegnet. Det er ikke mulig å tegne et diagram som tilsvarer hele den inverse funksjonen, men man kan tegne et diagram som tilsvarer uttrykket under negativt fortegn. Dermed kan formelen illustreres med diagrammene vist i fig. 4, a.

Ris. 4.

Det venstre diagrammet tilsvarer uttrykket x + y, og det høyre til NS ·c

Disse to kretsene er motsatte av hverandre i drift, nemlig: hvis venstre krets med ueksiterte elementer X, Y er en åpen krets, så er høyre krets lukket. Hvis i venstre krets, når et av elementene utløses, lukkes kretsen, og i høyre krets, tvert imot, åpnes den.

Siden, ved definisjonen av negativt fortegn, funksjonen x + y er den inverse av funksjonen x + y, så er det åpenbart at x + y = NS·in.

Angående multiplikasjon: NS · c = NS + c

De tilsvarende skjemaene er vist i fig. 4, b.

Translokativ og kombinasjon og lover og den distributive loven om multiplikasjon med hensyn til addisjon (tilsvarer lignende lover i vanlig algebra).Derfor, ved transformasjon av strukturformler i rekkefølgen addisjon og multiplikasjon av ledd, plassering av ledd utenfor parentes og utvidelse av parentes, kan du følge reglene som er etablert for å arbeide med vanlige algebraiske uttrykk. Den distributive loven for addisjon med hensyn til multiplikasjon og inversjonslovene er spesifikke for boolsk algebra.