Biot-Savart-loven og teoremet om sirkulasjonen til den magnetiske induksjonsvektoren

I 1820 fastslo de franske forskerne Jean-Baptiste Biot og Félix Savard, i løpet av felles eksperimenter for å studere de magnetiske feltene til likestrømmer, utvetydig at den magnetiske induksjonen av en likestrøm som flyter gjennom en leder kan betraktes som resultatet av generell virkning av alle deler av denne ledningen med strøm. Dette betyr at magnetfeltet følger prinsippet om superposisjon (prinsippet om superposisjon av felt).

Magnetfeltet skapt av en gruppe DC-ledninger har følgende magnetisk induksjonat verdien er definert som vektorsummen av de magnetiske induksjonene skapt av hver leder separat. Det vil si at induksjonen B til likestrømslederen kan representeres ganske av vektorsummen av de elementære induksjonene dB som tilhører de elementære seksjonene dl av den betraktede likestrømlederen I.

Det er praktisk talt urealistisk å isolere en elementær del av en likestrømsleder, fordi D.C. alltid stengt.Men du kan måle den totale magnetiske induksjonen skapt av en ledning, det vil si generert av alle de elementære delene av en gitt ledning.

Dermed lar Biot-Sovars lov deg finne verdien av den magnetiske induksjonen B av seksjonen (kjent lengde dl) av lederen, med en gitt likestrøm I, i en viss avstand r fra denne delen av lederen og i en bestemt observasjonsretning fra den valgte seksjonen (sett gjennom sinusen til vinkelen mellom retningen til strømmen og retningen fra seksjonen av lederen til det undersøkte punktet i rommet nær lederen):

Det ble eksperimentelt fastslått at retningen til den magnetiske induksjonsvektoren lett bestemmes av høyre skrue eller kardansk regel: hvis retningen for translasjonsbevegelse av kardan under rotasjonen sammenfaller med retningen til likestrøm I i ledningen, så rotasjonsretningen til kardanhåndtaket bestemmer retningen til den magnetiske induksjonsvektoren B produsert av en gitt strøm.

Magnetfeltet til en rett strømførende ledning, samt en illustrasjon av anvendelsen av Bio-Savarts lov på den, er vist på figuren:

Så hvis vi integrerer, det vil si, legger til bidraget fra hver av de små seksjonene av en konstant strømleder til det totale magnetfeltet, får vi en formel for å finne den magnetiske induksjonen til en strømleder ved en viss radius R fra den .

På samme måte, ved å bruke Bio-Savards lov, kan du beregne magnetiske induksjoner fra likestrømmer av forskjellige konfigurasjoner og på visse punkter i rommet, for eksempel, den magnetiske induksjonen i sentrum av en sirkulær krets med en strøm er funnet av følgende formel:

Retningen til den magnetiske induksjonsvektoren er lett å finne i henhold til gimbal-regelen, bare nå må gimbalen roteres i retning av den lukkede strømmen, og fremoverbevegelsen til gimbalen vil vise retningen til den magnetiske induksjonsvektoren.

Ofte kan beregninger med hensyn til magnetfeltet forenkles hvis vi tar hensyn til symmetrien til konfigurasjonen av strømmer gitt av generasjonsfeltet. Her kan du bruke teoremet om sirkulasjonen til den magnetiske induksjonsvektoren (som Gauss-teoremet i elektrostatikk). Hva er «sirkulasjon av den magnetiske induksjonsvektoren»?

La oss velge i rommet en viss lukket sløyfe med vilkårlig form og betinget indikere den positive retningen for dens vandring. For hvert punkt i denne sløyfen kan du finne projeksjonen av den magnetiske induksjonsvektoren B på tangenten til sløyfen på det punktet. Da er summen av produktene av disse mengdene med de elementære lengdene til alle seksjoner av konturen sirkulasjonen av den magnetiske induksjonsvektoren B langs denne konturen:

Praktisk talt alle strømmene som skaper et generelt magnetfelt her kan enten trenge inn i den aktuelle kretsen, eller noen av dem kan være utenfor den. I henhold til sirkulasjonsteoremet: sirkulasjonen av den magnetiske induksjonsvektor B av likestrømmer i en lukket sløyfe er numerisk lik produktet av den magnetiske konstanten mu0 med summen av alle likestrømmer som trenger gjennom sløyfen. Denne teoremet ble formulert av Andre Marie Ampere i 1826:

Tenk på figuren ovenfor. Her trenger strømmene I1 og I2 gjennom kretsen, men de er rettet i forskjellige retninger, noe som betyr at de har betinget forskjellige fortegn.Det positive tegnet vil ha en strøm hvis retning av magnetisk induksjon (i henhold til den grunnleggende regelen) faller sammen med retningen til omløpet til den valgte kretsen. For denne situasjonen har sirkulasjonsteoremet formen:

Generelt følger teoremet for sirkulasjonen av den magnetiske induksjonsvektoren B fra magnetfelt-superposisjonsprinsippet og Biot-Savard-loven.

For eksempel utleder vi formelen for magnetisk induksjon av en likestrømsleder. La oss velge en kontur i form av en sirkel, gjennom midten av hvilken denne ledningen passerer, og ledningen er vinkelrett på konturens plan.

Dermed ligger sentrum av sirkelen direkte i sentrum av lederen, det vil si i lederen. Siden bildet er symmetrisk, er vektoren B rettet tangentielt til sirkelen, og dens projeksjon på tangenten er derfor lik overalt og er lik lengden på vektoren B. Sirkulasjonssetningen er skrevet som følger:

Derfor følger formelen for magnetisk induksjon av en rett leder med likestrøm (denne formelen er allerede gitt ovenfor). På samme måte kan man ved å bruke sirkulasjonsteoremet enkelt finne de magnetiske induksjonene til symmetriske DC-konfigurasjoner der bildet av feltlinjene er lett å visualisere.

Et av de praktisk viktige eksemplene på anvendelsen av sirkulasjonsteoremet er å finne magnetfeltet inne i en toroidal induktor.

Anta at det er en toroidal spole viklet rundt-til-rundt på en smultringformet pappramme med antall omdreininger N. I denne konfigurasjonen er de magnetiske induksjonslinjene innelukket inne i smultringen og er konsentriske (innenfor hverandre) sirkler i form .

Hvis du ser i retning av den magnetiske induksjonsvektoren langs smultringens indre akse, viser det seg at strømmen er rettet overalt med klokken (i henhold til kardanregelen). Betrakt en av linjene (vist i rødt) av magnetisk induksjon inne i spolen og velg den som en sirkulær sløyfe med radius r. Deretter skrives sirkulasjonsteoremet for en gitt krets som følger:

Og den magnetiske induksjonen av feltet inne i spolen vil være lik:

For en tynn toroidal spole, der magnetfeltet er nesten jevnt over hele tverrsnittet, er det mulig å skrive uttrykket for den magnetiske induksjonen som for en uendelig lang solenoid, tatt i betraktning antall omdreininger per lengdeenhet — n :

Tenk nå på en uendelig lang solenoid der magnetfeltet er helt inne. Vi bruker sirkulasjonsteoremet på den valgte rektangulære konturen.

Her vil den magnetiske induksjonsvektoren gi en ikke-null-projeksjon kun på side 2 (lengden er lik L). Ved å bruke parameteren n — «antall omdreininger per lengdeenhet» får vi en slik form av sirkulasjonssetningen, som til slutt reduseres til samme form som for en multitonCoy toroidal spole: