En symbolsk metode for å beregne AC-kretser

En symbolsk metode for operasjoner med vektormengder er basert på en veldig enkel idé: hver vektor er dekomponert i to komponenter: en horisontal, passerer langs abscissen, og den andre, vertikal, passerer langs ordinaten. I dette tilfellet følger alle de horisontale komponentene en rett linje og kan legges til ved enkel algebraisk addisjon, og de vertikale komponentene legges til på samme måte.

Denne tilnærmingen resulterer generelt i to resulterende komponenter, en horisontal og en vertikal, som alltid er ved siden av hverandre i samme 90° vinkel.

Disse komponentene kan brukes til å finne resultatet, det vil si for geometrisk addisjon. De rettvinklede komponentene representerer bena til en rettvinklet trekant, og deres geometriske sum representerer hypotenusen.

Du kan også si at den geometriske summen er numerisk lik diagonalen til et parallellogram bygget på komponentene så vel som på sidene... Hvis den horisontale komponenten er betegnet med AG og den vertikale komponenten med AB, så er den geometriske summen ( 1)

Å finne den geometriske summen av rette trekanter er mye lettere enn skrå trekanter. Det er lett å se at (2)

blir (1) hvis vinkelen mellom komponentene er 90°. Siden cos 90 = 0, forsvinner siste ledd i det radikale uttrykket (2), som et resultat av at uttrykket forenkles kraftig. Merk at ett av tre ord må legges til før ordet "sum": "aritmetisk", "algebraisk", "geometrisk".

Fig. 1.

Ordet «beløp» uten å spesifisere som fører til usikkerhet og i noen tilfeller til grove feil.

Husk at den resulterende vektoren er lik den aritmetiske summen av vektorene i tilfellet når alle vektorene går langs en rett linje (eller parallelt med hverandre) i samme retning. I tillegg har alle vektorer et plusstegn (fig. 1, a).

Hvis vektorene går langs en rett linje, men peker i motsatte retninger, er resultatet deres lik den algebraiske summen av vektorer, i så fall har noen ledd et plusstegn og andre har et minustegn.

For eksempel, i diagrammet på fig. 1, b U6 = U4 — U5. Vi kan også si at den aritmetiske summen brukes i tilfeller der vinkelen mellom vektorene er null, algebraisk når vinklene er 0 og 180°. I alle andre tilfeller utføres addisjonen vektorielt, det vil si at den geometriske summen bestemmes (fig. 1, c).

Eksempel... Bestem parametrene til ekvivalent sinusbølge for kretsen Fig. 2, men symbolsk.

Svar. La oss tegne vektorer Um1 Um2 og dekomponere dem til komponenter. Det kan sees av tegningen at hver horisontal komponent er vektorverdien multiplisert med cosinus til fasevinkelen, og vertikalen er vektorverdien multiplisert med sinus til fasevinkelen. Deretter

Fig. 2.

Det er klart at de totale horisontale og vertikale komponentene er lik de algebraiske summene av de tilsvarende komponentene. Deretter

De resulterende komponentene er vist i fig. 2, b. Bestem verdien av Um for dette, beregn den geometriske summen av de to komponentene:

Bestem den ekvivalente fasevinkelen ψeq. Fig. 2, b, kan det sees at forholdet mellom den vertikale og den horisontale komponenten er tangenten til den ekvivalente fasevinkelen.

hvor

Den således oppnådde sinusoiden har en amplitude på 22,4 V, en startfase på 33,5° med samme periode som komponentene. Merk at bare sinusbølger med samme frekvens kan legges til, fordi når man legger til sinuskurver med forskjellige frekvenser, slutter den resulterende kurven å være sinus og alle konsepter som kun gjelder for harmoniske signaler blir ugyldige i dette tilfellet.

La oss gjenoppta hele kjeden av transformasjoner som må gjøres med de matematiske beskrivelsene av de harmoniske bølgeformene når vi utfører ulike beregninger.

Først erstattes de tidsmessige funksjonene med vektorbilder, deretter dekomponeres hver vektor i to gjensidig vinkelrette komponenter, deretter beregnes de horisontale og vertikale komponentene separat, og til slutt bestemmes verdiene til den resulterende vektoren og dens innledende fase.

Denne beregningsmetoden eliminerer behovet for å grafisk legge til (og i noen tilfeller utføre mer komplekse operasjoner, for eksempel multiplisere, dele, trekke ut røtter, etc.) sinusformede kurver og ty til beregninger ved å bruke formlene til skrå trekanter.

Det er imidlertid ganske tungvint å beregne de horisontale og vertikale komponentene i operasjonen hver for seg.I slike beregninger er det veldig praktisk å ha et slikt matematisk apparat som du kan beregne begge komponentene på en gang.

Allerede på slutten av forrige århundre ble det utviklet en metode som tillater samtidige beregninger av tall plottet på innbyrdes vinkelrette akser. Tallene på den horisontale aksen ble kalt reelle, og tallene på den vertikale aksen ble kalt imaginære. Ved beregning av disse tallene legges en faktor på ± 1 til de reelle tallene, og ± j til de imaginære tallene (les "xi"). Tall som består av reelle og imaginære deler kalles kompleks, og metoden for beregninger utført med deres hjelp er symbolsk.

La oss forklare begrepet «symbolsk». Funksjonene som skal beregnes (harmoniske i dette tilfellet) er originaler, og de uttrykkene som erstatter originalene er bilder eller symboler.

Når du bruker den symbolske metoden, utføres alle beregninger ikke på originalene selv, men på deres symboler (bilder), som i vårt tilfelle representerer de tilsvarende komplekse tallene, siden det er mye lettere å utføre operasjoner på bilder enn på originalene selv.

Etter at alle bildeoperasjoner er fullført, lagres originalen som tilsvarer det resulterende bildet på det resulterende bildet. De fleste av beregningene i elektriske kretser er gjort ved hjelp av den symbolske metoden.