Hvorfor komplekse tall brukes til beregninger i AC-kretser

Som du vet, brukes komplekse tall for å løse noen typiske problemer innen elektroteknikk. Men hva brukes de til og hvorfor gjøres det på denne måten? Dette er hva vi vil prøve å forstå i løpet av denne artikkelen. Faktum er at den komplekse metoden eller metoden for komplekse amplituder er praktisk for å beregne komplekse AC-kretser. Og til å begynne med, la oss huske noen grunnleggende om matematikk:

Som du kan se inkluderer det komplekse tallet z den imaginære delen og den reelle delen, som skiller seg fra hverandre og er angitt annerledes i teksten. Selve det komplekse tallet z kan skrives i algebraisk, trigonometrisk eller eksponentiell form:

Historisk bakgrunn

Det antas at ideen om imaginære tall begynte i 1545, da den italienske matematikeren, ingeniøren, filosofen, legen og astrologen Girolamo Cardano publiserte denne metoden for å løse ligninger i sin avhandling "Den store kunsten", hvor det ifølge bl.a. , innrømmet han at Niccolò hadde gitt ham ideen til Tartaglia (en italiensk matematiker) 6 år før utgivelsen av dette verket. I sitt arbeid løser Kradano ligninger av formen:

I prosessen med å løse disse ligningene ble forskeren tvunget til å innrømme eksistensen av et «uvirkelig» tall, hvis kvadrat vil være lik minus én «-1», det vil si som om det er en kvadratrot av en negativt tall, og hvis det nå er kvadrert, vil det vise seg å være det tilsvarende negative tallet under roten. Cardano uttalte multiplikasjonsregelen, ifølge hvilken:

I tre århundrer var det matematiske samfunnet i ferd med å venne seg til den nye tilnærmingen foreslått av Cardano. Innbilte tall slår gradvis rot, men matematikere er motvillige til å akseptere. Det var ikke før utgivelsen av Gauss' verk om algebra, hvor han beviste algebraens grunnleggende teorem, at komplekse tall endelig ble fullstendig akseptert, 1800-tallet var for hånden.

Imaginære tall ble en virkelig livredder for matematikere fordi de mest komplekse problemene ble mye lettere å løse ved å akseptere eksistensen av imaginære tall.

Så det kom snart til elektroteknikk. AC-kretser var noen ganger veldig komplekse og mange integraler måtte beregnes for å beregne dem, noe som ofte var veldig upraktisk.

Til slutt, i 1893, talte den strålende elektroingeniøren Carl August Steinmetz i Chicago på International Electrotechnical Congress med en rapport "Complex numbers and their application in electrical engineering", som faktisk markerte begynnelsen på ingeniørers praktiske anvendelse av den komplekse metoden for beregne elektriske kretser for vekselstrøm.

Dette vet vi fra fysikkkurset vekselstrøm — dette er en strøm som endrer seg over tid i både størrelse og retning.

I teknologien finnes det ulike former for vekselstrøm, men den vanligste i dag er sinusformet vekselstrøm, det er denne som brukes overalt, ved hjelp av hvilken strøm overføres, i form av vekselstrøm, som genereres, omdannes av transformatorer og forbrukes av laster. En sinusformet strøm endres med jevne mellomrom i henhold til en sinusformet (harmonisk) lov.

De effektive verdiene til strømmen og spenningen er mindre enn amplitudeverdiene til roten av to ganger:

I den komplekse metoden er de effektive verdiene til strømmer og spenninger skrevet som følger:

Merk at i elektroteknikk er den imaginære enheten betegnet med bokstaven «j», siden bokstaven «i» allerede brukes her for å betegne strøm.

Fra Ohms lov bestemmer den komplekse verdien av motstanden:

Addisjon og subtraksjon av komplekse verdier gjøres i algebraisk form, og multiplikasjon og divisjon i eksponentiell form.

La oss vurdere metoden for komplekse amplituder ved å bruke eksemplet på en spesifikk krets med visse verdier av hovedparametrene.

Et eksempel på å løse et problem ved hjelp av komplekse tall

Gitt:

• spolespenning 50 V,

• motstand motstand 25 Ohm,

• spoleinduktans 500 mH,

• den elektriske kapasiteten til kondensatoren er 30 mikrofarad,

• spolemotstand 10 ohm,

• nettfrekvens 50 Hz.

Finn: amperemeter og voltmeteravlesninger samt wattmeter.

Svar:

Til å begynne med skriver vi ned den komplekse motstanden til seriekoblede elementer, som består av reelle og imaginære deler, deretter finner vi den komplekse motstanden til et aktivt-induktivt element.

Husker! For å få eksponentialformen, finn modulen z lik kvadratroten av summen av kvadratene til de reelle og imaginære delene, og phi lik arctangensen til kvotienten til den imaginære delen delt på den reelle delen.

Så finner vi strømmen og følgelig avlesningene til amperemeteret:

Så amperemeteret viser en strøm på 0,317 A - det er strømmen gjennom hele seriekretsen.

Nå vil vi finne den kapasitive motstanden til kondensatoren, så vil vi bestemme dens komplekse motstand:

Vi beregner deretter den totale komplekse impedansen til denne kretsen:

Nå finner vi den effektive spenningen påført kretsen:

Voltmeteret vil vise en effektiv spenning på 19,5 volt.

Til slutt finner vi effekten som wattmåleren vil vise, tatt i betraktning faseforskjellen mellom strøm og spenning

Wattmåleren vil vise 3,51 watt.

Nå forstår du hvor viktig komplekse tall er i elektroteknikk. De brukes til praktisk beregning av elektriske kretser. Mange elektroniske måleapparater fungerer på samme grunnlag.